| 1. | It is usually easier to work in the function field case and then try to develop parallel techniques on the number field side.
Il est généralement plus facile de travailler dans le cas des corps de fonctions puis d'essayer de développer des techniques similaires du côté des corps de nombres. |
| 2. | Drinfeld's proof of the global Langlands correspondence for GL(2) over a global function field leads towards a proof of the Ramanujan–Petersson conjecture.
La construction par Vladimir Drinfeld de la correspondance globale de Langlands pour GL(2) sur un corps de fonctions global permit de démontrer la conjecture de Ramanujan-Petersson dans ce cas. |
| 3. | In joint work with Dennis Gaitsgory, he used his Nonabelian Poincaré duality in an algebraic-geometric setting, to prove the Siegel mass formula for function fields.
En collaboration avec Dennis Gaitsgory, il utilise sa dualité non-abélienne de Poincaré dans un cadre de géométrie algébrique, pour prouver la formule de masse de Siegel pour les corps de fonctions. |
| 4. | From 1913 to 1916 Noether published several papers extending and applying Hilbert's methods to mathematical objects such as fields of rational functions and the invariants of finite groups.
De 1913 à 1916, Noether publie des articles qui appliquent et amplifient les méthodes de Hilbert sur des objets mathématiques tels que les corps de fonctions rationnelles et les invariants des groupes finis. |
| 5. | He provided also detailed studies of elliptic fibrations of surfaces over a curve, or in other language elliptic curves over algebraic function fields, a theory whose arithmetic analogue proved important soon afterwards.
Il a aussi fait une étude détaillée des fibrations elliptiques (en) des surfaces au-dessus d'une courbe, ou courbes elliptiques sur les corps de fonctions, une théorie dont l'analogue arithmétique est bientôt devenu important. |
| 6. | Global class field theory of characteristic p>0: The module A is the union of the groups of idele classes of separable finite extensions of some function field over a finite field, and G is the Galois group.
Théorie des corps de classes globale de caractéristique p > 0 : Le module A est l'union des groupes des classes idéliques d'extensions finies séparables d'un certain corps de fonctions sur un corps fini, et G est le groupe de Galois. |
| 7. | All these conjectures can be formulated for more general fields in place of Q: algebraic number fields (the original and most important case), local fields, and function fields (finite extensions of Fp(t) where p is a prime and Fp(t) is the field of rational functions over the finite field with p elements).
Toutes ces conjectures peuvent être formulées pour des corps plus généraux à la place de ℚ : les corps de nombres algébriques (le cas originel et le plus important), les corps locaux, et les corps de fonctions (extensions finies de Fp(X) où p est un nombre premier et Fp(X) est le corps des fonctions rationnelles sur le corps fini Fp à p éléments). |
